Contoh Grup
G=(R-0, *), didefinisikan a*b=ab/2
Adib: G=(R-0, *) memenuhi sifat-sifat grup
Syarat Grup
1. Memiliki anggota dan tidak kosong
2. Ada operasi
3. Sifat Tertutup
Untuk ∀ a,b ∈ R
maka a*b=ab/2 ∈ R (memenuhi sifat tertutup karena ∀ a,b ∈ R di operasikan hasilnya ∈ R)
4. Assosiatif
Untuk ∀ a,b,c ∈ R
Maka:
a*(b*c)=a*bc/2
a*(b*c) = abc/4.......... (i)
(a*b)*c = ab/2*c
(a*b)*c = abc/4...........(ii)
Jadi,
a*(b*c) = (a*b)*c (Memenuhi sifat assosiatif karena a*(b*c)=(a*b)*c), ∀ a,b,c ∈ R
5. Identitas
Untuk ∀ a ∈ R, maka ∃ e ∈ R
sehingga
a*e = a
a*e = ae/2
ae/2 = a
e = 2 (mempunyai elemen identitas yaitu 2)
6. Invers
Untuk ∀ a ∈ R, maka ∃ a-1 ∈ R
Sehingga:
a* a-1 = e diketahui e = 2
a* a-1 = (a a-1)/2
(a a-1)/2 = e
(a a-1)/2 = 2 (karena e=2)
(a a-1)/2 = 2
(a a-1) = 4
a-1 = 4/a, a ≠ 0 (mempunyai elemen invers ∀ a ∈ R, dimana a ≠ 0)
Karena memenuhi semua syarat grup, maka G=(R-0, *) yang didefinisikan a*b=ab/2 adalah grup.
Contoh Bukan Grup
G=(R, *), didefinisikan a*b=ab/2
Untuk ∀ a ∈ R, maka ∃ a-1 ∈ R
Sehingga:
a* a-1 = e (diketahui sebelumnya e = 2)
a* a-1 = (a a-1)/2
(a a-1)/2 = e
(a a-1)/2 = 2 (karena e=2)
(a a-1)/2 = 2
(a a-1) = 4
a-1 = 4/a, a ≠ 0 (dimana a ≠ 0, sedangkan 0 ∈ R)
Karena tidak memiliki elemen invers, maka untuk G=(R, *), didefinisikan a*b=ab/2 bukan grup.
File dapat di download di bawah ini.
